Diese Probeklausur behandelt einige der wichtigsten Themen der Analysis und Linearen Algebra, wie sie in den Universitäten für Nicht-Mathematiker gelehrt werden.
Um eine grobe Vorstellung des Schwierigkeitsgrades dieser Probeklausur zu bekommen: Nach dem Besuch einer Vorlesung über Lineare Algebra und Analysis an einer Uni sollte diese “Klausur” in 2,5 Stunden vollständig zu lösen sein, wenn man diese Themen alle schon einmal gemacht hat. Insgesamt gibt es 72 Punkte, die Bestehensgrenze würde bei 50% liegen.
Alle Aufgaben sind ohne Hilfsmittel zu lösen.
Sicherlich werden an einigen Unis Themen mal mehr und mal weniger beleuchtet. Diese Probeklausur sollte aber jeder, der einen Pflichtmathekurs belegt hat, bestehen können. Selbstverständlich haftet hier aber niemand dafür, dass ihr dann aber auch eure echte Uniklausur besteht. Sowas muss man ja heutzutage immernoch anmerken, sonst kommt sicher wieder jemand auf die Idee, zu klagen 😛
Also dann: Viel Erfolg 🙂
Die Lösungen gibt es unter Probeklausur 1 – Lösungsskizze
Aufgabe 1 (6 + 2 + 2 + 1 Punkte)
Gegeben sei die Matrix $$ A = \begin{pmatrix} 1 & 4 & -2 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 \end{pmatrix} $$
- Bestimme die Inverse zu $A$.
- Mache die Probe, d.h. zeige, dass dein $A^{-1}$ aus $1.1$ wirklich die Inverse ist.
- Bestimme die Determinante von $A$.
- Unter welcher Bedingung an $b$ ist das lineare Gleichungssystem $Ax=b$ (für $A$ wie oben definiert) eindeutig lösbar?
Aufgabe 2 (6 + 2 Punkte)
Gegeben sei die Matrix
$$ A = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} $$
- Bestimme die Eigenwerte und Eigenvektoren von $A$.
- Begründe, ob $A$ diagonalisierbar ist oder nicht.
Aufgabe 3 (5 Punkte)
Gegeben sei die Funktion
$$f(x,y) = 3x^2 + x\sin(y) $$
Bestimme das Integral von $f$ über $[0,1] \times [0,\pi]$
Aufgabe 4 (12 Punkte)
Gegeben sei die Funktion
$$ f(x,y) = x\sin(y) $$
Bestimme das Integral von $f$ über dem Dreieck aus $(0,0),~(1,0),~(0,\pi)$.
Aufgabe 5 (4 + 1 Punkte)
Gegeben sei die Funktion
$$f(x,y,z) = 6x^2 – 4xyz + 2yz + 8xz^2 $$
- Bestimme den Gradienten von $f$ an der Stelle $p=(1,2,2)$
- Bestimme das totale Differential von $f$.
Aufgabe 6 (6 Punkte)
Bestimme das Taylorpolynom zweiten Grades von $f(x) = \sin(2x + \pi)$ an der Entwicklungsstelle $p=\frac{\pi}{2}$
Aufgabe 7 (8 + 3 + 3 Punkte)
Gegeben seien $f(x) = \sqrt{x}$ (für $x \geq 0$) und $g(x) = xe^x$
- Zeige mit der Definition, dass die Funktion $f$ im Punkt $p=1$ stetig ist.
- Analysiere die Monotonieeigenschaften von $f$
- Bestimme das Verhalten von $g$ für $x \rightarrow \infty$ und $x \rightarrow -\infty$
Aufgabe 8 (8 + 3 Punkte)
Gegeben sei die Funktion
$$ f(x,y) = 2x^2 + 4xy +4y $$
- Bestimme die Extrempunkte unter der Nebenbedingung $ x^2 -y = 6 $
- Bestimme, ob es sich dabei um Maxima oder Minima handelt.